Croissances comparées

Propriété

Pour tout entier naturel \(n\) ,  \(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^n}=+\infty\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty}x^n\text{e}^x=0\) .

Démonstration

De  \(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^n}=+\infty\)
Dans la démonstration des limites aux bornes , on a vu que, pour tout réel \(x \geqslant 0,\ \text{e}^x \geqslant x\) .
Ainsi, pour tout entier naturel \(n\)  et pour tout réel \(x \geqslant 0\) , on a \(\ \text{e}^{\frac{x}{n+1}} \geqslant \frac{x}{n+1}\) .

La fonction \(x \mapsto x^{n+1}\)  est croissante sur \([0\ ;+\infty[\)  donc, pour tout entier naturel \(n\)  et pour tout réel   \(x \geqslant 0\) , on a \(\ \text{e}^{x} \geqslant \frac{x^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}\) .
Pour tout entier naturel \(n\)  et pour tout réel \(x \geqslant 0,\)  on a donc \(\displaystyle\frac{\text{e}^{x}}{x^n} \geqslant \frac{x}{(n+1)^{n+1}}\) .
Or \(\lim\limits_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{x}{(n+1)^{n+1}}=+\infty\) .
Donc, d'après le théorème de comparaison, pour tout entier naturel  \(n\) , on a :
\(\lim\limits_{x \to +\infty}\displaystyle\frac{\text{e}^x}{x^n}=+\infty\) .